КЛАСС СОВЕРШЕННЫХ ТРОИЧНЫХ РЕШЕТОК

В настоящее время совершенные алгебраические конструкции успешно применяются для синтеза систем сигналов, конструирования блочных и поточных криптоалгоритмов, для создания генераторов псевдослучайных ключевых последовательностей. Среди совершенных алгебраических конструкций значительное место занимают бент-последовательности и связанный с ними класс совершенных двоичных решеток. Бент-последовательности применяются для построения современных криптографических примитивов, а также для построения кодов постоянной амплитуды (C-кодов), используемых в технологии кодового разделения каналов. В свою очередь, совершенные двоичные решетки используются для построения корректирующих кодов, систем бифазных фазоманипулированных сигналов и многоуровневых криптографических систем. Развитие методов многозначной логики в современных информационных и коммуникационных системах привлекло внимание исследователей к усовершенствованию методов синтеза многозначных бент-последовательностей для задач криптографии и передачи информации. Новые результаты, полученные в области синтеза троичных бент-последовательностей, делают актуальной задачу изучения класса совершенных троичных решеток. В настоящей статье результаты для совершенных двоичных решеток распространяются на трехзначный случай. На основе понятия разбаланса троичной функции введено определение совершенной троичной решетки. Полный класс совершенных троичных решеток третьего порядка получен регулярным методом, минуя перебор. Так, установлено, что класс совершенных троичных решеток является объединением четырех подклассов, в каждом из которых определены соответствующие методы размножения. В работе установлена взаимосвязь между классом троичных бент-последовательностей и классом совершенных троичных решеток. Полученные результаты являются основой для внедрения совершенных троичных решеток в современные криптографические и телекоммуникационные алгоритмы.

1. Гнатюк, С. О. Метод оцінювання якості тритових псевдовипадкових послідовностей для криптографічних застосувань / С. О. Гнатюк, Т. О. Жмурко, В. М. Кінзерявий, Н. А. Сєйлова. – Information Technology and Security, 2015. – Т. 3. – № 2(5). – С. 108–116.

2. Соколов, А. В. Генератор псевдослучайных ключевых последовательностей на основе тройственных наборов бент-функций / А. В. Соколов, О. Н. Жданов, Н. А. Барабанов. – Проблемы физики, математики и техники, 2016. – № 1(26). – С. 85–91.

3. Zhdanov, O. N. Block symmetric cryptographic algorithm based on principles of variable block length and manyvalued logic / O. N. Zhdanov, A. V. Sokolov. – Far East Journal of Electronics and Communications, 2016. – Vol. 16, No. 3. – P. 573–589.

4. Tao, Wu. Stream cipher by reed-solomon code / Wu Tao, Wang Ruomei. – Information and Communication Technology Convergence (ICTC), 2017. – P. 422–427.

5. Токарева, Н. Н. Бент-функции: результаты и приложения. Обзор работ / Н. Н. Токарева // Приклад. дискрет. математика. – Томск, 2009. – Сер. № 1(3). – С. 15–37.

6. Mesnager, S. Several New Infinite Families of Bent Functions and Their Duals / S. Mesnager.— IEEE Transactions on Information Theory, 2014. – Vol. 60. – No. 7. – P. 4397–4407.

7. Qingshu, Meng. A novel algorithm enumerating bent functions / Qingshu Meng, Min Yang, Huanguo Zhang, Jingsong Cui. – Discrete Mathematics, 2008. – Vol. 308. – Issue 23. – P. 5576–5584.

8. Kopilovich, L. E. On perfect binary arrays / L. E. Kopilovich. – Electronics Letters, 1988. —Vol. 24. – No. 9. – P. 566–567.

9. Мазурков, М. И. Регулярные привила построения полного класса бент-последовательностей длины 16 / М. И. Мазурков, А. В. Соколов. – Труды ОНПУ. – 2013. – № 2(41). – С. 231–237.

10. Wild P. Infinite families of perfect binary arrays / P. Wild. – Electron. Lett, 1988. – Vol. 24. – No. 14. – P. 845–847.

11. Трахтман, A. M. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах / A. M. Трахтман, В. А. Трахтман. – М.: Сов.радио, 1975. – 208 с.

12. Stankovic, R. S. Representation of Multiple-Valued Logic Functions / R. S. Stankovic, J. T. Astola, C. Moraga. – Morgan & Claypool Publishers, Synthesis lectures on digital circuits and systems, 2012. – p. 170.

13. Соколов, А. В. Методы синтеза алгебраической нормальной формы функций многозначной логики / А. В. Соколов, О. Н. Жданов, А. О. Айвазян. – Системный анализ и прикладная информатика, 2016. – № 1. – С. 69–76.

14. Мазурков, М. Метод синтеза бент-последовательностей в базисе Виленкина-Крестенсона / М. И. Мазурков, А. В. Соколов, Н. А. Барабанов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. – 2016. – T. 59, N 11. – С. 47–55.

15. Sokolov, A. V. Regular synthesis method of a complete class of ternary bent-sequences and their nonlinear properties / A.V. Sokolov, O. N. Zhdanov. – Journal of Telecommunication, Electronic and Computer Engineering. – Vol. 8. – No. 9. – P. 39–43.