СВОЙСТВА G-ОРБИТ ДВОЙНЫХ ОШИБОК И ИХ ИНВАРИАНТОВ В БЧХ-КОДАХ

Цель работы – дальнейшее расширение сферы применения автоморфизмов кодов в методах и алгоритмах коррекции ошибок этими кодами. Эффективность данного подхода продемонстрировала разработанная на рубеже ХХ и ХХI веков белорусской школой помехоустойчивого кодирования теория норм синдромов (ТНС). В основе теории лежит группа Г циклических сдвигов координат векторов. Под ее действием векторы-ошибок разбиваются на непересекающиеся Г-орбиты с четко очерченным спектром синдромов. Это позволило ввести в семействе БЧХ-кодов нормы синдромов, инвариантные относительно действия группы Г. Нормы синдромов явились однозначными характеристиками Г-орбит ошибок любой корректируемой совокупности, а потому стали основой перестановочных норменных методов коррекции ошибок. Перебирая не ошибки, а Г-орбиты ошибок, методы эти действуют на порядок быстрее классических синдромным методов коррекции ошибок, избавлены от громоздкой процедуры решения алгебраических уравнений в полях Галуа, легко реализуемы на ПЛИС.

В работе развивается подобная теория для группы G автоморфизмов БЧХ-кодов, получаемой добавлением к группе Г-циклотомической подстановки. Проводится детальное исследование структуры G-орбит ошибок как объединения своих Г-орбит векторов-ошибок; взаимно-однозначного отражения этого строения на структуре спектра норм составляющих Г-орбит. Нормы эти, будучи связанными между собой автоморфизмом Фробениуса в поле Галуа – поле задания БЧХ-кода, составляют полный набор корней единственного неприводимого полинома. Он и является полиномиальным инвариантом своей G-орбиты. Основное внимание в работе сосредоточено на описании свойств и специфики G-орбит двойных ошибок и их полиномиальных инвариантов.

1. Конопелько В. К., Липницкий В. А. Теория норм синдромов и перестановочное декодирование помехоустойчивых кодов. Монография. – Мн.: БГУИР, 2000. – 242 с. Изд. 2-е. – М.: Едиториал, УРСС 2004. – 176 с.

2. Липницкий В. А., Конопелько В. К. Норменное декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраические уравнения. – Мн.: Издательский центр БГУ, 2007. – 240 с.

3. Липницкий В. А. Теория норм синдромов. – Мн.: БГУИР, 2011. – 96 с.

4. Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. – М.: Связь, 1979. – 744 с.

5. Липницкий, В. А. Полиномиальные инварианты G-орбит ошибок БЧХ-кодов и их применение. / В. А. Липницкий, Е. В. Середа // Доклады БГУИР. – 2017. – № 5(107) – С. 62 – 69.

6. Муттер В. М. Основы помехоустойчивой телепередачи информации – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 286 с.

7. Липницкий, В. А. Современная прикладная алгебра. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа. – Мн.: БГУИР, 2006. – 88 с.

8. Лиддл Р., Ниддеррайтер Г. Конечные поля. Т.1, 2. – М.: Мир, 1988. – 882 с.