Цель работы – дальнейшее расширение сферы применения автоморфизмов кодов в методах и алгоритмах коррекции ошибок этими кодами. Эффективность данного подхода продемонстрировала разработанная на рубеже ХХ и ХХI веков белорусской школой помехоустойчивого кодирования теория норм синдромов (ТНС). В основе теории лежит группа Г циклических сдвигов координат векторов. Под ее действием векторы-ошибок разбиваются на непересекающиеся Г-орбиты с четко очерченным спектром синдромов. Это позволило ввести в семействе БЧХ-кодов нормы синдромов, инвариантные относительно действия группы Г. Нормы синдромов явились однозначными характеристиками Г-орбит ошибок любой корректируемой совокупности, а потому стали основой перестановочных норменных методов коррекции ошибок. Перебирая не ошибки, а Г-орбиты ошибок, методы эти действуют на порядок быстрее классических синдромным методов коррекции ошибок, избавлены от громоздкой процедуры решения алгебраических уравнений в полях Галуа, легко реализуемы на ПЛИС.
В работе развивается подобная теория для группы G автоморфизмов БЧХ-кодов, получаемой добавлением к группе Г-циклотомической подстановки. Проводится детальное исследование структуры G-орбит ошибок как объединения своих Г-орбит векторов-ошибок; взаимно-однозначного отражения этого строения на структуре спектра норм составляющих Г-орбит. Нормы эти, будучи связанными между собой автоморфизмом Фробениуса в поле Галуа – поле задания БЧХ-кода, составляют полный набор корней единственного неприводимого полинома. Он и является полиномиальным инвариантом своей G-орбиты. Основное внимание в работе сосредоточено на описании свойств и специфики G-орбит двойных ошибок и их полиномиальных инвариантов.
The goal of the work is the further extending the scope of application of code automorthism in methods and algorithms of error correction by these codes. The effectiveness of such approach was demonstrated by norm of syndrome theory that was developed by Belarusian school of noiseless coding at the turn of the XX and XXI century. The group Г of the cyclical shift of vector component lies at the core of the theory. Under its action The error vectors are divided into disjoint Г-orbits with definite spectrum of syndromes. This allowed to introduce norms of syndrome of a family of BCH codes that are invariant over action of group Г. Norms of syndrome are unique characteristic of error orbit Г of any decoding set, hence it is the basis of permutation norm methods of error decoding. Looking over the Г-orbits of errors not the errors these methods are faster than classic syndrome methods of error decoding, are avoided from the complex process of solving the algebraic equation in Galois field, are simply implemented.
A detailed theory for automorphism group G of BCH codes obtained by adding cyclotomic substitution to the group Г develops in the article. The authors held a detailed study of structure of G-orbit of errors as union of orbits Г of error vectors; one-to-one mapping of this structure on the norm structure of group Г. These norms being interconnected by Frobenius automorphism in the Galois field – field of BCH code constitute the complete set of roots of the only irreducible polynomial. It is a polynomial invariant of its orbit G. The main focus of the work is on the description of properties and specific features of groups G of double errors and its polynomial invariants.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.