Синдромные спектры орбит ошибок в РС-кодах

Данная статья посвящена исследованию свойств синдромов ошибок в кодах Рида-Соломона. РС-коды построены на недвоичных алфавитах. Поэтому, в отличие от кодов Боуза-Чоудхури-Хоквингема, РС-коды содержат исключительно большое многообразие корректируемых ошибок. Для коррекции этих ошибок предлагается систематическое применение автоморфизмов кодов. Характерными автоморфизмами РС-кодов являются циклические и аффинные подстановки, образующие циклические группы Г и А соответственно, порядки которых совпадают с длиной кода. Показано, что циклическая и аффинная подстановки коммутируют друг с другом и порождают совместную АГ-группу как прямое произведение подгрупп А и Г. Данные три группы действуют на пространстве векторов-ошибок РС-кодов, разбивая это пространство на три вида орбит ошибок. Как правило, эти орбиты являются полными, то есть содержат максимально возможное количество ошибок. Синдромы являются основным индикатором наличия ошибок в каждом принятом ИКС сообщении, средством точной идентификации этих ошибок. Исследована специфика синдромов двойных ошибок в РС-кодах. Установлено, что спектры синдромов орбит ошибок также являются полными в подавляющем большинстве случаев. Доказано, что структура спектров синдромов копирует структуру самих орбит, которые в свою очередь копируют структуру групп автоморфизмов кода. Полученные результаты являются существенным вкладом в построение ТНС для кодов Рида-Соломона.

1. McWilliams F. J., Sloan J. J. The Theory of Error­Correcting Codes. – Amsterdam: North­holland publishing com- pany; 1977. – 762 s.

2. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд. 2. – Москва: Вильямс; 2003–1104 с.

3. Кудряшов Б. Д. Основы теории кодирования. – Санкт­Петербург: БХВ­Петербург; 2016 – 400 с.

4. Маров А. В., Утешев А. Ю. Матричный формализм кодов Рида­Соломона // Вестник Санкт­Петербургского университета, Сер 10. Вып. 4. – Санкт­Петербург: БХВ­Петербург; 2016 – С. 4–17.

5. Липницкий В. А. Конопелько В. К. Норменное декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраические уравнения. – Минск: БГУ; 2007. – 239 с.

6. Липницкий В. А., Семёнов С. И. Автоморфизмы и орбиты ошибок кодов Рида­Соломона // Доклады БГУИР. Вып. 6 – Минск: БГУИР, 2019.