sapiСистемный анализ и прикладная информатика«System analysis and applied information science»2309-49232414-0481Belarusian National Technical Universitysapi-88Research ArticleСистемный анализSystem analysisОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ПО КРИТЕРИЮ МАКСИМУМА АПОСТЕРИОРНОЙ ВЕРОЯТНОСТИOPTIMAL ESTIMATION OF RANDOM PROCESSES ON THE CRITERION OF MAXIMUM A POSTERIORI PROBABILITYЛобатыйА. А.LobatyA. A.

Доктор технических наук, профессор

Doctor of science, professor.

CA_PI@bntu.byЯцынаЮ. Ф.YacinaY. F.

Директор Государственного научно-производственного предприятия беспилотных многофункциональных комплексов

Director of the State Research and Production Enterprise unmanned multipurpose complexes.

CA_PI@bntu.byАрефьевН. Н.ArefievN. N.

Магистр

Nikolay Arefiev received the graduate degree in software engineering from the Belarusian National Technical University in 2014 and the Master’s degree in system analysis and control of information processing in 2015. He is currently working on PhD degree program.

CA_PI@bntu.byБелорусский национальный технический университетБеларусьBelarusian National Technical UniversityBelarus201628032016013541Copyright © Лобатый А.А., Яцына Ю.Ф., Арефьев Н.Н., 20162016Лобатый А.А., Яцына Ю.Ф., Арефьев Н.Н.Lobaty A.A., Yacina Y.F., Arefiev N.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://sapi.bntu.by/jour/article/view/88

Рассматривается задача получения уравнения для апостериорной плотности вероятности стохастического марковского процесса при линейной модели измерений. В отличие от распространенных подходов, основанных на рассмотрении в качестве критерия оптимизации минимума среднего квадрата ошибки оценивания, в данном случае в качестве критерия оптимизации рассматривается максимум апостериорной плотности вероятности оцениваемого процесса.

Априорная плотность вероятности оцениваемого процесса изначально считается гауссовой дифференцируемой функцией, что позволяет разложить её в ряд Тейлора без использования в промежуточных преобразованиях характеристических функций и разложения на гармоники. Для малых интервалов времени плотность вероятности вектора ошибок измерений по определению так же задается гауссовой с нулевым математическим ожиданием. Это даёт возможность получить математическое выражение для функции невязки, характеризующей отклонение значений реального измерения процесса от его математической модели.

Для определения оптимальной апостериорной оценки вектора состояния задается предположение, что эта оценка соответствует ее математическому ожиданию – максимуму апостериорной плотности вероятности. Это даёт возможность на основе формулы Байеса для априорной и апостериорной плотности вероятности получить уравнение Стратоновича-Кушнера.

Использование уравнения Стратоновича-Кушнера при различных видах и значениях вектора сноса и матрицы диффузии марковского стохастического процесса позволяет решать различные задачи фильтрации, идентификации, сглаживания и прогноза состояния системы, как для непрерывных, так и для дискретных систем. Дискретная реализация разработанных непрерывных алгоритмов апостериорной оценки позволяет получить конкретные дискретные алгоритмы для реализации в бортовом компьютере мобильной робототехнической системы.

The problem of obtaining the equations for the a posteriori probability density of a stochastic Markov process with a linear measurement model. Unlike common approaches based on consideration as a criterion for optimization of the minimum mean square error of estimation, in this case, the optimization criterion is considered the maximum a posteriori probability density of the process being evaluated.

The a priori probability density estimated Gaussian process originally considered a differentiable function that allows us to expand it in a Taylor series without use of intermediate transformations characteristic functions and harmonic decomposition. For small time intervals the probability density measurement error vector, by definition, as given by a Gaussian with zero expectation. This makes it possible to obtain a mathematical expression for the residual function, which characterizes the deviation of the actual measurement process from its mathematical model.

To determine the optimal a posteriori estimation of the state vector is given by the assumption that this estimate is consistent with its expectation – the maximum a posteriori probability density. This makes it possible on the basis of Bayes’ formula for the a priori and a posteriori probability density of an equation Stratonovich-Kushner.

Using equation Stratonovich-Kushner in different types and values of the vector of drift and diffusion matrix of a Markov stochastic process can solve a variety of filtration tasks, identify, smoothing and system status forecast for continuous and for discrete systems. Discrete continuous implementation of the developed algorithms posteriori assessment provides a specific, discrete algorithms for the implementation of the on-board computer, a mobile robot system.

математическая модельпространство состоянийстохастическое уравнениекритерий оптимизацииматематическое ожиданиевектор сносаматрица диффузииmathematical modelstate spacestochastic equationsoptimization criteriathe expectationthe demolition of the vectordiffusion matrixReferencesКрасильщиков, М. Н. Современные информационные технологии в задачах навигации и наведения беспилотных маневренных летательных аппаратов / М. Н. Красильщиков, Г. Г. Серебряков. – М.: Физматлит, 2009. – 558 с.1. Krasilchikov, M. N. Modern information technologies in problems of navigation and guidance maneuverable unmanned aerial vehicles / M. N. Krasilchikov, G. G. Serebryakov. – M.: FIZMATLIT, 2009. – 558 p.Алешин, Б. С. Ориентация и навигация подвижных объектов: современные информационные технологии / Б. С. Алешин, К. К. Веремеенко, А. И. Черноморский. – М.: Физматлит, 2006. – 424 с.Aleshin, B. S. Orientation and navigation of mobile objects: modern information technology / B. S. Aleshin, K. K. Veremeyenko, A. I. Chernomorsci. – M.: FIZMATLIT, 2006. – 424 p.Балакнишнан, А. В. Теория фильтрации Калмана: Пер. с англ. / А. В. Балакнишнан. – М.: Мир, 1988. – 1000 с.Balakrishnan, A. V. Kalman filtering theory: Per. from English. / A. V. Balaknishnan. – M.: Mir, 1988. – 1000 p.Синицин, И. Н. Фильтры Калмана и Пугачева / И. Н. Синицин. – М.: Университетская книга, 2006. – 640 с.Sinitsyn, I. N. Kalman filters and Pugachev / I. N. Sinitsyn. – M.: University Book, 2006. – 640 p.Пупков, К. П. Методы классической и современной теории автоматического управления: в 5 т. / К. П. Пупков, Н. Д. Егупов. – М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. – 656 с.Pupkov, K. P. Methods of classical and modern automatic control theory. 5 t / K. P. Pupkov, N. D. Egupov. – M.: Publisher MSTU. NE Bauman, 2004. – 656 p.Тихонов, В. И. Марковские процессы / В. И. Тихонов, И. Н. Миронов. – М. А.: Советское радио, 1977. – 450 с.Tikhonov, V. I. Markov Processes / V. I. Tikhonov, I. N. Mironov. – M.: Soviet Radio, 1977. – 450 p.Пугачев, В. С. Теория стохастических систем / В. С. Пугачев, И. Н. Синицын. – М.: Логос, 2004. – 1000 с.Pugachev, V. S. Theory of stochastic systems / V. S. Pugachev, I. N. Sinitsyn. – M.: Logos, 2004. – 1000 p.Вентцель, Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 1999. – 576 с.Wentzel, E. S. Probability theory / E. S. Wentzel. – M.: Higher School, 1999. – 576 p.Казаков, И. Е. Методы оптимизации стохастических систем / И. Е. Казаков, Д. И. Гладков. – М.: Наука, 1987. – 304 с.Kazakov, I. E. Methods of optimization of stochastic systems / I. E. Kazakov, D. I Gladkov. – M.: Nauka, 1993. – 270 p.Лобатый, А. А. Особенности применения фильтров Калмана-Бьюси в комплексах ориентации и навигации / А. А. Лобатый, А. С. Бенкафо. – М.: Доклады БГУИР, 2013. – С. 67–71.Lobaty, A. A. Features of the Kalman-Bucy filter complexes in orientation and navigation / A. A. Lobaty, A. S. Benkafo. – Minsk: Reports BSUIR, 2013. – P. 67–71.Лобатый, А. А. Оценка навигационных параметров подвижного объекта в условиях многорежимности / А. А. Лобатый, А. С. Бенкафо. – М.: Доклады БГУИР, 2014. – С. 52 с.Lobaty, A. A. Evaluation of navigation parameters of the movable object in a multimode / A. A. Lobaty, A. S. Benkafo. – Minsk: Reports BSUIR, 2014. – P. 52–58.12. Лобатый, А. А. Структурно-параметрическая нечеткая коррекция алгоритма фильтрации / А. А. Лобатый, А. С. Бенкафо, А. С. Абуфанас. – М.: Системный анализ и прикладная информатика, 2014. – С. 4–8.Lobaty, A. A. Structural-parametric correction fuzzy filtering algorithm / A. A. Lobaty, A. S. Benkafo, A. S. Abufanas. – Minsk: System Analysis and Applied Computer Science, 2014. – P. 4–8.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.