sapiСистемный анализ и прикладная информатика«System analysis and applied information science»2309-49232414-0481Belarusian National Technical University10.21122/2309-4923-2020-3-4-8sapi-477Research ArticleСистемный анализSystem analysisВыделение периодической компоненты разложением по сингулярным вейвлетамIsolation of a periodic component by singular wavelet decompositionРоманчакВ. М.RomanchakV. M.

Романчак Василий Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Инженерная математика»

Минск

Romanchak@bntu.byГундинаМ. А.HundzinaM. A.

Гундина Мария Анатольевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Инженерная математика»

Минск

 

hundzina@bntu.byБелорусский национальный технический университетБеларусьBelarusian National Technical UniversityBelarus2020250920200348Copyright © Романчак В.М., Гундина М.А., 20202020Романчак В.М., Гундина М.А.Romanchak V.M., Hundzina M.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://sapi.bntu.by/jour/article/view/477

В работе предлагается применять дискретное вейвлет-преобразование с сингулярным вейвлетом для выделения периодической составляющей из сигнала. Традиционно считается, что для базисного вейвлета должно выполняться условие допустимости (среднее значение вейвлета равно нулю). Для сингулярных вейвлетов условие допустимости не выполняется. В качестве сингулярного вейвлета можно использовать дельтаобразные функции, которые участвуют в оценках Парзена-Розенблатта, Надарая-Ватсона. С помощью сингулярного вейвлета определяется дискретное вейвлет-преобразование. Подобное преобразование изучалось нами ранее для непрерывного случая. Были получены теоретические оценки скорости сходимости суммы вейвлет-преобразований; предложены различные варианты и дано теоретическое обоснование применению метода сингулярных вейвлетов; cформулированы достаточные условия равномерной сходимости суммы вейвлет-преобразований. Показано, что с помощью вейвлет-преобразования можно решать задачу непараметрической аппроксимации функции. Разложение по сингулярным вейвлетам является новым методом и в настоящее время отсутствуют примеры его приложения к решению прикладных задач. В данной работе анализируются возможности метода сингулярных вейвлетов. Сделано предположение, что в некоторых случаях из сигнала можно выделить медленную и быструю компоненту, и такая гипотеза подтверждается численным решением реальной задачи. Аналогичный анализ проводится и с помощью параметрического уравнения регрессии, которое позволяет выделить периодическую составляющую из сигнала. Сравнение результатов расчетов подтверждает, что непараметрическая аппроксимация, основанная на сингулярных вейвлета, и применение параметрической регрессия может приводить к аналогичным результатам.

In this paper, we propose to use a discrete wavelet transform with a singular wavelet to isolate the periodic component from the signal. Traditionally, it is assumed that the validity condition must be met for a basic wavelet (the average value of the wavelet is zero). For singular wavelets, the validity condition is not met. As a singular wavelet, you can use the Delta-shaped functions, which are involved in the estimates of Parzen-Rosenblatt, Nadaraya-Watson. Using singular value of a wavelet is determined by the discrete wavelet transform. This transformation was studied earlier for the continuous case. Theoretical estimates of the convergence rate of the sum of wavelet transformations were obtained; various variants were proposed and a theoretical justification was given for the use of the singular wavelet method; sufficient conditions for uniform convergence of the sum of wavelet transformations were formulated. It is shown that the wavelet transform can be used to solve the problem of nonparametric approximation of the function. Singular wavelet decomposition is a new method and there are currently no examples of its application to solving applied problems. This paper analyzes the possibilities of the singular wavelet method. It is assumed that in some cases a slow and fast component can be distinguished from the signal, and this hypothesis is confirmed by the numerical solution of the real problem. A similar analysis is performed using a parametric regression equation, which allows you to select the periodic component of the signal. Comparison of the calculation results confirms that nonparametric approximation based on singular wavelets and the application of parametric regression can lead to similar results.

вейвлетвейвлет-преобразованиеокно Парзена-Розенблаттанепараметрическая аппроксимацияядерная оценка Надарая-Ватсонаwaveletwavelet transformparsen window–Rosenblattnonparametric approximationnuclear assessment Nadaraya-WatsonReferencesGrossman, A. Decomposition of functions into wavelets of constant shape, and related tranforms // A. Grossman, J. Morlet / Lectures on Recent Results Grossman, A. Decomposition of functions into wavelets of constant shape, and related tranforms. – 1985. – V.1. – P. 135–165.Grossman A. Decomposition of functions into wavelets of constant shape, and related transforms. Lectures on Recent Results Grossman, 1985, vol. 1, pp.135–165.Haar, A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionsysteme / A. Haar. – Math.Ann. – 1910. – V.69. – P. 331.Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionsysteme. Math.Ann, 1910, vol. 69, pp. 331.Meyer, Y. Wavelets: Algorithms and applications // Y. Meyer // S.I.A.M. – 1993. – V.36. – P. 526–528.Meyer Y. Wavelets: Algorithms and applications. S.I.A.M, 1993, vol. 36, pp. 526–528.Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам. / И. Добеши. Ижевск: НИЦ РХД, 2001. – 464 с.Dobeshi I. Desjat’ lekcij po vejvletam. Ten lectures on wavelets. Izhevsk, SRC «RCD», 2001, 464 p. (in Russian).Романчак, В. М. Аппроксимация сингулярными вейвлетами/ В. М. Романчак // Системный анализ и прикладная информатика, –2018. -№ 2 – С. 23–28.Romanchak V. M. Approksimacija singuljarnymi vejvletami. Approximation by singular wavelets. System analysis and applied informatics, 2018, no. 2, pp. 23–28. (in Russian).Романчак, В. М. Аппроксимация экспертных оценок сингулярными вейвлетами / В. М. Романчак, П. М. Лаппо // Вестник Гродненского гос.ун. Сер. 2: Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление, –2017. –Т. 7, № 1. –С.132–139.Romanchak V. M., Lappo P. M. Approksimacija jekspertnyh ocenok singuljarnymi vejvletami. Approximation of expert estimates by singular wavelets. Bulletin of the Grodno State University, Ser. 2, 2017, vol. 7, no. 1, pp. 132–139. (in Russian).Романчак В. М. Сингулярные вейвлеты на конечном интервале/ В. М. Романчак // Информатика. – 2018. № 15(4). – С. 39–49.Romanchak V. M. Singuljarnye vejvlety na konechnom interval. Singular wavelets on a finite interval. Informatika, 2018, vol. 15, no. 4, pp. 39–49. (in Russian).Надарая, Э. А. Об оценке регрессии / Э. А. Надарая // Теория вероятностей и ее применение. –1964. – Т. 9, № 1. – C. 157–159.Nadaraya E.A. Ob ocenke regressii. About Regression Estimation. Probability Theory and Its Application, 1964, vol. 9, no. 1, pp. 157–159. (in Russian).Watson, G. S. Smooth regression analysis / G. S. Watson // Sankhya: The Indian Journal of Statistics, Ser. A. –1964. – Vol. 26, – P. 359–372.Watson G. S. Smooth regression analysis. Sankhya, The Indian Journal of Statistics Nadaraya E.A. Ob ocenke regressii. About Regression Estimation. Probability Theory and Its Application, 1964, vol. 9, no. 1, pp. 157–159. (in Russian).Coghlan, A. A little book of R for time series [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://buildmedia.readthedocs.org/media/pdf/a-little-book-of-r-for-time-series/latest/a-little-book-of-r-for-time-series.pdf. – Дата доступа: 2.05.2020.Coghlan, A. A little book of R for time series [Electronic resource]. – Access Mode: https://buildmedia.readthedocs.org/media/pdf/a-little-book-of-r-for-time-series/latest/a-little-book-of-r-for-time-series.pdf. – Date of access: 2.05.2020.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.