Задача аппроксимации является актуальной практически для любого инженерного исследования. В этой связи представляют интерес универсальные методы аппроксимации. В работе развивается метод непараметрической аппроксимации – метод сингулярных вейвлетов. Метод включает в себя эффективный численный алгоритм, основанный на суммировании рекуррентной последовательности функций. Универсальность алгоритма означает, что его можно применять для приближения одномерных и многомерных функций, в системах поддержки принятия решений, при обработке стохастической информации, распознавании образов, решении краевых задач.
Во введении поясняется идея метода сингулярных вейвлетов – объединить теорию вейвлетов с ядерными оценками регрессии типа Надарая-Ватсона. Обычно ядерные оценки рассматриваются как пример непараметрического оценивания. Однако один параметр – параметр размытости, все же присутствует в традиционном алгоритме ядерной регрессии. Выбор оптимального значения этого параметра является сложной математической задачей и этому вопросу посвящены многочисленные работы. При аппроксимации по методу сингулярных вейвлетов происходит суммирование ядерных оценок типа Надарая-Ватсона по параметру размытости, что в значительной степени снимает проблему оптимального выбора этого параметра.
В основной части работы формулируются теоремы, которые определяют свойства регуляризованного вейвлет-преобразования. Впервые получены достаточные условия равномерной сходимости вейвлет ряда. Для иллюстрации эффективности численного алгоритма аппроксимации рассмотрен пример квази-интерполяции функции Рунге вейвлетами с равномерным распределением узлов интерполяции.
The problem of approximation is relevant for most engineering applications. In this connection, the universal methods of approximation are of interest. The method of nonparametric approximation is developing in the paper – the method of singular wavelets. The method includes an effective numerical algorithm based on the summation of a recursive sequence of functions. The universal algorithm of approximation makes it possible to apply it to approximate one-dimensional and multidimensional functions, in decision support systems, in the processing of stochastic information, pattern recognition, and solution of boundary-value problems.
The introduction explain the idea of the method of singular wavelets – to combine the theory of wavelets with the Nadaraya-Watson kernel regression estimator. Usually, Nadaraya-Watson kernel regression are considered as an example of non- parametric estimation. However, one parameter, the smoothing parameter, is still present in the traditional kernel regression algorithm. The choice of the optimal value of this parameter is a complex mathematical problem, and numerous studies have been devoted to this question. In the approximation by the method of singular wavelets, summation of Nadaraya-Watson kernel regression estimates with the smoothing parameter takes place, which solves the problem of the optimal choice of this parameter.
In the main part of the paper theorems are formulated that determine the properties of the regularized wavelet transform. Sufficient conditions for uniform convergence of the wavelet series are obtained for the first time. To illustrate the effectiveness of the numerical approximation algorithm, we consider an example of the quasi-interpolation of the Runge function by wavelets with a uniform distribution of interpolation nodes.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.